가설

가설

추론

  • 표본에서 얻은 정보를 이용하여 모집단에 대해 알아보는것
    • 추정 : 모수를 점 또는 구간으로 추측
    • 검정 : 모집단에 대한 가설 입증

가설검정

  • 모집단의 어떤 현상에 대한 예상 또는 주장이 옳은지 틀렸는지를 표본자료를 이용하여 판단하는 것
    • 통계적 가설 : 모집단에 대한 예상 또는 주장

가설검정의 단계

  1. 모집단의 특성에 대한 주장, 즉 가설을 설정한다
  2. \[검정의 유의수준 \alpha를 정한다\]
  3. 표본을 추출하여 검정통계량을 계산한다
  4. 검정통계량에 대한 p값을 구하여 가설에 대한 결론을 내린다. 또는 기각역에 속하는지를 검토하여 가설에 대한 결론을 내린다.

가설

통계적 가설 : 모집단에 대한 예상 또는 주장

  • \[대립가설(H_1) : 연구자의 새로운 주장\]
  • \[귀무가설(H_0) : 과거이론 또는 경험적으로 믿어지는 이론\]
    • 연구자의 주장에 대한 배반적 가설
  • 귀무가설에 대하여 살펴본 뒤 이를 기각함으로 대립가설을 주장하고자 함

가설설정 규칙

  • 귀무가설은 모수를 특정한 값으로 표현한다
    • \[H_0 : \theta = \theta_0\]
  • 대립가설은 귀무가설에서 지적한 모수의 값이 아닌 어떤 영역으로 나타나는데, 양쪽을 다 고려하는 양측검정과 한쪽만 고려하는 단측검정이 있다
    • \[H_1 : \theta \neq \theta_0\]
    • \[H_1 : \theta > \theta_0\]
    • \(H_1 : \theta < \theta_0\)

      예

      기존의 주장에 따라 평균키가 165cm인 집단이 있다고 가정

  • 165cm이다.
    • \[H_0 : \mu_0 = 165\]
  • 이때 새로운 가설은 3가지 정도가 나옴
    • 귀무가설 : 165cm이다. \(H_0 : \mu_0 = 165\)
    • 대립가설-단측검정
      • 165cm보다 작다 \(H_1 : \mu_1 < \mu_0\)
      • 165cm보다 크다 \(H_1 : \mu_1 > \mu_0\)
  • 대립가설-양측검정
    • 165cm이 아니다 \(H_1 : \mu_1 \neq \mu_0\)

검정통계량

  • 검정에 사용하기 위햐여 표본자료에서 구한 통계량
  • 일반적으로 검정하려는 모수의 점추정량이 되기도 하고, 이 점추정량을표준화한 것을 사용하기도 한다.
    • 검정하려는 모수
      • \(\sigma를 알 때, 정규분포 모집단 \mu는\) \(Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma / \sqrt n} N(0, 1)\)
      • \(\sigma를 모를 때, 정규분포 모집단 \mu는\) \(t = \frac{\bar X - \mu_0}{s / \sqrt n} t(n-1)\)
  • 1종 오류(알파오류) : 귀무가설이 실제 옳은데도 불구하고 검정 결과가 그 가설을 기각하는 오류
    • \[\alpha = Pr{H_0 기각 | H_0 사실}\]
  • 2종 오류(베타오류) : 귀무가설이 틀린데도 불구하고 검정 결과가 그 가설을 채택하는 오류
    • \[\beta = Pr{H_0 기각실패 | H_1 사실}\]

주요 개념1

  • 검정력 : 귀무가설이 틀렸을 때 이를 기각하여 대립가설을 채택
    • 검정력 = 1 - 2종 오류 확률
  • 유의수준
    • 1종 오류를 유의수준으로 함
    • 보통 0.05/0.01/0.001로 정함

귀무가설_진위표

주요 개념2

  • p값
    • 귀무가설이 사실일 때, 표본이 대립가설 방향으로 검정통계량의 값보다 더 극단적일 확률 \(p \ge \alpha\ 귀무가설 기각 못함\) \(p < \alpha\ 귀무가설 기각\)
  • 기각역
    • 귀무가설이 사실이 아니라고 기각하게 되는 검정통계량의 영역

예제

한국 청소년들의 하루 평균 TV시청시간이 3시간이라 주장

그 정도는 안될 것이라 주장

  • TV 시청 시간은 정규분포를 따르며 분산은 과거 조사에서 1로 알려져 있음
  • 어느 편이 맞는 지 알아보기 위하여 단순임의 추출한 100명을 조사한 결과 평균2.75시간 \(H_0 : 평균 3시간\) \(H_1 : 3시간이 아니다\) 
    sample_mean <- 2.75
population_mean <- 3
sample_size <- 100
sample_sd <- 1
t_stat <- (sample_mean - population_mean) / (sample_sd / sqrt(sample_size))
df <- sample_size - 1
p_value <- 2 * pt(-abs(t_stat), df)
cat("t-통계량:", t_stat, "\n")
cat("자유도:", df, "\n")
cat("p-value:", p_value, "\n")
alpha <- 0.05
if (p_value < alpha){
  cat("귀무가설 기각")
} else{
  cat("귀무가설 채택")
}
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December 09, 2023